4091401 แคลคูลัส 1

Responsive image

4091401 แคลคูลัส 1

คำอธิบายรายวิชา
เพื่อให้นักศึกษามีความรู้และความเข้าใจเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน การหาค่าลิมิต และความต่อเนื่องของฟังก์ชัน เพื่อให้นักศึกษามีความรู้และความเข้าใจเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิตและฟังก์ชันอดิศัย เพื่อให้นักศึกษาสามารถนำความรู้ในเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชันไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด

จำนวนการเข้าชม
595 ครั้ง

บทที่ 1 ลิมิตของฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน (function) คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่เท่ากัน การพิจารณาว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่ อาจพิจารณาจากกราฟนั้นโดยลากเส้นตรงขนานกับแกน Y ถ้าไม่มีเส้นขนานกับแกน Y เส้นใดตัดกราฟของความสัมพันธ์ที่กำหนดให้มากกว่า 1 จุด ความสัมพันธ์นั้นจะเป็นฟังก์ชัน แต่ถ้ามีเส้นขนานกับแกน Y เพียงเส้นเดียวตัดกราฟมากกว่า 1 จุด แล้วสรุปว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน เนื่องจากมีคู่อันดับในความสัมพันธ์ที่มีสมาชิกตัวหน้าเหมือนกัน แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน ตัวอย่างของฟังก์ชันที่ควรรู้จัก เช่น ฟังก์ชันเชิงเส้น ฟังก์ชันขั้นบันได ฟังก์ชันกำลังสอง ฟังก์ชันพหุนาม ฟังก์ชันที่เป็นคาบ เป็นต้น ลิมิต (limit) เป็นพื้นฐานที่จะทำให้เข้าใจในแคลคูลัส แนวความคิดเกี่ยวกับลิมิตเป็นการอธิบายพฤติกรรมของค่าของฟังก์ชัน สำหรับการพิจารณาลิมิตโดยอาศัยบทนิยาม หลักสำคัญในการพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันดังกล่าวก็คือ พยายามหาจำนวนจริงบวก ให้ได้นั่นเอง สำหรับการหาคำนวณหาค่าลิมิตของฟังก์ชันได้สะดวกและรวดเร็วกว่าวิธีใช้การแทนค่า ที่เข้าใกล้จำนวนจริง ถ้าใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตและกฎเกณฑ์ในการหาลิมิต
วิดีโอการสอน

บทที่ 2 ความต่อเนื่อง

การพิจารณาความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดใด ๆ ก็คือการบอกว่ากราฟของฟังก์ชันขาดตอนที่จุดนั้นหรือไม่ โดยที่สำหรับฟังก์ชัน f(x) ใด ๆ จะมีความต่อเนื่องที่จุด x = a ก็ต่อเมื่อ lim f(x) (ลิมิตทางซ้าย)= f(a) = lim f(x) (ลิมิตทางขวา) เท่านั้นและต้องหาค่าได้ทั้งหมด ส่วนการพิจารณาว่าฟังก์ชัน f(x) จะมีความต่อเนื่องบนช่วงเปิด (a, b) หรือไม่นั้น ให้พิจารณาว่าฟังก์ชัน f(x) มีความต่อเนื่องทุก ๆ จุดในช่วง (a, b) และฟังก์ชัน f(x) จะมีความต่อเนื่องบนช่วงปิด [a, b] ก็ต่อเมื่อ f(x) มีความต่อเนื่องทางขวาของ a และมีความต่อเนื่องทางซ้ายของ b สำหรับลิมิตเกี่ยวกับอนันต์นั้น ∞ และ -∞ ไม่ใช่จำนวนจริง เป็นเพียงสัญลักษณ์แทนการกล่าวถึงค่าบวกที่มีค่าเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขีดจำกัดและค่าลบที่มีค่าลดลงอย่างไม่มีขีดจำกัด ถ้าลิมิตอยู่ในรูป ∞/∞, -∞/∞, -∞/-∞, 0·∞, 0^0, 1^∞ หรือ ∞^0 ไม่สามารถสรุปผลได้ รูปลิมิตเหล่านี้เรียกว่า รูปแบบไม่กำหนด การหาลิมิตรูปแบบดังกล่าวทำได้โดยการใช้อนุพันธ์เข้าช่วย ซึ่งจะกล่าวต่อไปในบทการประยุกต์อนุพันธ์
วิดีโอการสอน

บทที่ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต

สำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y = f(x) ที่จุด x ใด ๆ ซึ่งเรียกอีกอย่างได้ว่า อนุพันธ์ (derivative) ซึ่งสัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของ f(x) ได้แก่ f’(x) หรือ dy/dx หรือ df(x)/dx หรือ y’ อนุพันธ์ของ f(x) ก็คือ lim{ f(x+h)-f(x)}/h = dy/dx นั่นเอง และนอกจากนั้นแล้ว อาจเรียกว่าเป็นค่า ความชัน (gradient) ของกราฟ ณ จุดนั้น ๆ ด้วย เนื่องจากการใช้บทนิยามของลิมิตหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นไม่สะดวก จึงได้มีการคิดสูตรในการหาอนุพันธ์ ตัวอย่าง เช่น อนุพันธ์ค่าคงตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ อนุพันธ์ของ x ยกกำลังจำนวนเต็มบวก n เท่ากับ n คูณ x ยกกำลัง n-1 อนุพันธ์ของผลบวกและผลต่าง จะเท่ากับผลบวกและผลต่างของอนุพันธ์ อนุพันธ์ของผลคูณสองฟังก์ชันเท่ากับ ฟังก์ชันแรกคูณกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันหลัง บวกฟังก์ชันหลังคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรก หรือการหาอนุพันธ์ผลหารซึ่งเท่ากับส่วนคูณอนุพันธ์ของเศษ ลบเศษคูณอนุพันธ์ของส่วน หารด้วยส่วนยกกำลังสอง และการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ ซึ่งหาได้โดยใช้กฎลูกโซ่ ซึ่งเป็นกฎที่สำคัญและมีประโยชน์อย่างมาก สำหรับใช้ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มีความซับซ้อน
วิดีโอการสอน

บทที่ 4 อนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย

สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นจำเป็นต้องใช้ความรู้บางประการเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่ lim{sin(x)/x} = 1 และ lim{1-cos(x)/x} = 0 เมื่อ x มีหน่วยเป็นเรเดียน ตัวอย่างเช่น การหาอนุพันธ์ของ f(x) = sin(x) ซึ่งจะได้ว่า dsin(x)/dx การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ จะหาโดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติประกอบกับ dsin(u)/dx = cos(x)du/dx เมื่อ u เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่ x โดยกฎลูกโซ่ (Chain rule) และการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันตรีโกณมิติสามารถหาได้ง่ายโดยใช้สูตร การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่อยู่ในรูปผลคูณ ผลหารและยกกำลัง อาจทำได้ง่ายขึ้น โดยเปลี่ยนให้เป็นฟังก์ชันลอการิทึม แล้วใช้สมบัติของลอการิทึมของผลคูณ ผลหารและยกกำลัง เปลี่ยนเป็นผลบวก ผลต่าง และผลคูณของลอการิทึม
วิดีโอการสอน

บทที่ 5 การประยุกต์อนุพันธ์

ความหมายของฟังก์ชันเพิ่มคือ เมื่อ x เพิ่มขึ้นแล้ว f(x) ก็จะเพิ่มขึ้นด้วย หรือกล่าวว่า ความชันเป็นบวก ส่วนฟังก์ชันลดนั้น เมื่อ x เพิ่มขึ้นแล้ว f(x) กลับลดลง หรือกล่าวว่า ความชันเป็นลบนั่นเอง ดังนั้น เมื่อพิจารณาถึงอนุพันธ์ f’(x) ซึ่งเป็นค่าความชันของกราฟ จะได้กฎว่า ช่วงที่ f’(x) > 0 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และช่วงที่ f’(x) < 0 เป็นฟังก์ชันลด และเนื่องจากตำแหน่งที่ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด หรือจากลดไปเพิ่ม จะต้องมีการวกกลับของกราฟ ซึ่งทำให้เกิดจุดยอด (จุดสุดขีด ; extreme point) ขึ้น สามารถหาโดย f’(x) = 0 ซึ่งจุดสุดขีด จะมีค่า f’(x) = 0 เรียกค่า x ณ จุดนั้นว่า ค่าวิกฤต (critical value) โดยที่จุดสุดขีด มีสองแบบ คือจุดสูงสุดและจุดต่ำสุด ถ้าความชันเปลี่ยนจากลดไปเพิ่ม จะเกิดจุดต่ำสุด และถ้าความชันเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด จะเกิดจุดสูงสุด ถ้า f’(x) = 0 ไม่ได้หมายความว่าเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดเสมอไป อาจเป็นจุดเปลี่ยนความเว้าเท่านั้น สามารถพิจารณาให้ละเอียดได้จาก อัตราการเปลี่ยนแปลงความชัน หรือ f’’(x) หาก f’’(x) > 0 แสดงว่าความชันมากขึ้นเรื่อย ๆ (เปลี่ยนจากลบไปบวก) จะเกิดจุดต่ำสุด หรือถ้าหาก f’’(x) < 0 แสดงว่าความชันน้อยลงเรื่อย ๆ (เปลี่ยนจากบวกไปลบ) ซึ่งจะเกิดจุดสูงสุด หรือถ้า f’’(x) = 0 อาจเป็นจุดเปลี่ยนความเว้า หรือจุดสูงสุด หรือจุดต่ำสุดก็ได้ นอกจากนี้แล้วยังใช้ความรู้เรื่อง ค่าสูงสุดต่ำสุด (maximum & minimum) ของฟังก์ชัน ในการคำนวณโจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์จริง เช่น การเลือกใช้เส้นทางในการเดินทางจากสถานที่แห่งหนึ่งไปยังอีกแห่งหนึ่งโดยใช้เวลาในการเดินทางน้อยที่สุด หรือเจ้าของร้านค้าต้องเลือกราคาขายต่อหน่วยอย่างไรจึงจะทำให้ผลกำไรมากที่สุด หรือผู้ผลิตสินค้าต้องคิดว่าขนาดของกล่องที่ใส่สินค้าต้องเป็นอย่างไร จึงจะทำให้ใช้วัสดุน้อยที่สุดเพื่อให้ได้รูปร่างและปริมาตรของกล่องตามที่กำหนดไว้ หรือการตั้งสถานีปั้มน้ำ บริการส่งน้ำ โดยสร้างท่อส่งน้ำ จะต้องตั้งสถานีปั้มน้ำอย่างไรให้เสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุดในการสร้างท่อส่งน้ำดังกล่าว เป็นต้น ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม (Mean Value Theorem) ซึ่งจะมีความเกี่ยวเนื่องกับอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของฟังก์ชันบนช่วงหนึ่งกับอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่งของฟังก์ชันที่จุดในช่วงนั้น หรือในทางเรขาคณิตทฤษฎีบทค่ามัชฌิมกล่าวไว้ว่า ฟังก์ชันต่อเนื่องบน [a, b] และหาอนุพันธ์ได้บนช่วง (a, b) จะต้องมีจุด c ในช่วง (a, b) ซึ่งเส้นสัมผัสกราฟที่จุด (c, f(c)) ขนานกับเส้นคอร์ดที่เชื่อมระหว่างจุด (a, f(a)) และ (b, f(b)) นั่นก็คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f บนช่วง [a, b] เท่ากับ อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่งของ f ที่จุด c ภายในช่วง (a, b) ส่วนทฤษฎีบทของโรลล์ จะกล่าวว่า y = f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [a, b] และหาอนุพันธ์ได้บน (a, b) ถ้า f(a) = f(b) = 0 แล้วจะมี c ในช่วง (a, b) โดย f’(c) = 0 หรือความหมายทางเรขาคณิตของทฤษฎีบทของโรลล์ (Rolle Theorem) กล่าวได้ไว้ว่า ระหว่างจุดสองจุดใด ๆ ของฟังก์ชัน ที่ต่อเนื่องและมีอนุพันธ์ ซึ่งตัดแกน X แล้วจะมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุด ที่ทำให้เส้นสัมผัสเส้นโค้งขนานกับแกน X นั่นเอง
วิดีโอการสอน

Comments