ความหมายของฟังก์ชันเพิ่มคือ เมื่อ x เพิ่มขึ้นแล้ว f(x) ก็จะเพิ่มขึ้นด้วย หรือกล่าวว่า ความชันเป็นบวก ส่วนฟังก์ชันลดนั้น เมื่อ x เพิ่มขึ้นแล้ว f(x) กลับลดลง หรือกล่าวว่า ความชันเป็นลบนั่นเอง ดังนั้น เมื่อพิจารณาถึงอนุพันธ์ f’(x) ซึ่งเป็นค่าความชันของกราฟ จะได้กฎว่า ช่วงที่ f’(x) > 0 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และช่วงที่ f’(x) < 0 เป็นฟังก์ชันลด และเนื่องจากตำแหน่งที่ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด หรือจากลดไปเพิ่ม จะต้องมีการวกกลับของกราฟ ซึ่งทำให้เกิดจุดยอด (จุดสุดขีด ; extreme point) ขึ้น สามารถหาโดย f’(x) = 0 ซึ่งจุดสุดขีด จะมีค่า f’(x) = 0 เรียกค่า x ณ จุดนั้นว่า ค่าวิกฤต (critical value) โดยที่จุดสุดขีด มีสองแบบ คือจุดสูงสุดและจุดต่ำสุด ถ้าความชันเปลี่ยนจากลดไปเพิ่ม จะเกิดจุดต่ำสุด และถ้าความชันเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด จะเกิดจุดสูงสุด
ถ้า f’(x) = 0 ไม่ได้หมายความว่าเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดเสมอไป อาจเป็นจุดเปลี่ยนความเว้าเท่านั้น สามารถพิจารณาให้ละเอียดได้จาก อัตราการเปลี่ยนแปลงความชัน หรือ f’’(x) หาก f’’(x) > 0 แสดงว่าความชันมากขึ้นเรื่อย ๆ (เปลี่ยนจากลบไปบวก) จะเกิดจุดต่ำสุด หรือถ้าหาก f’’(x) < 0 แสดงว่าความชันน้อยลงเรื่อย ๆ (เปลี่ยนจากบวกไปลบ) ซึ่งจะเกิดจุดสูงสุด หรือถ้า f’’(x) = 0 อาจเป็นจุดเปลี่ยนความเว้า หรือจุดสูงสุด หรือจุดต่ำสุดก็ได้ นอกจากนี้แล้วยังใช้ความรู้เรื่อง ค่าสูงสุดต่ำสุด (maximum & minimum) ของฟังก์ชัน ในการคำนวณโจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์จริง เช่น การเลือกใช้เส้นทางในการเดินทางจากสถานที่แห่งหนึ่งไปยังอีกแห่งหนึ่งโดยใช้เวลาในการเดินทางน้อยที่สุด หรือเจ้าของร้านค้าต้องเลือกราคาขายต่อหน่วยอย่างไรจึงจะทำให้ผลกำไรมากที่สุด หรือผู้ผลิตสินค้าต้องคิดว่าขนาดของกล่องที่ใส่สินค้าต้องเป็นอย่างไร จึงจะทำให้ใช้วัสดุน้อยที่สุดเพื่อให้ได้รูปร่างและปริมาตรของกล่องตามที่กำหนดไว้ หรือการตั้งสถานีปั้มน้ำ บริการส่งน้ำ โดยสร้างท่อส่งน้ำ จะต้องตั้งสถานีปั้มน้ำอย่างไรให้เสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุดในการสร้างท่อส่งน้ำดังกล่าว เป็นต้น
ทฤษฎีบทค่ามัชฌิม (Mean Value Theorem) ซึ่งจะมีความเกี่ยวเนื่องกับอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของฟังก์ชันบนช่วงหนึ่งกับอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่งของฟังก์ชันที่จุดในช่วงนั้น หรือในทางเรขาคณิตทฤษฎีบทค่ามัชฌิมกล่าวไว้ว่า ฟังก์ชันต่อเนื่องบน [a, b] และหาอนุพันธ์ได้บนช่วง (a, b) จะต้องมีจุด c ในช่วง (a, b) ซึ่งเส้นสัมผัสกราฟที่จุด (c, f(c)) ขนานกับเส้นคอร์ดที่เชื่อมระหว่างจุด (a, f(a)) และ (b, f(b)) นั่นก็คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f บนช่วง [a, b] เท่ากับ อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่งของ f ที่จุด c ภายในช่วง (a, b) ส่วนทฤษฎีบทของโรลล์ จะกล่าวว่า y = f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [a, b] และหาอนุพันธ์ได้บน (a, b) ถ้า f(a) = f(b) = 0 แล้วจะมี c ในช่วง (a, b) โดย f’(c) = 0 หรือความหมายทางเรขาคณิตของทฤษฎีบทของโรลล์ (Rolle Theorem) กล่าวได้ไว้ว่า ระหว่างจุดสองจุดใด ๆ ของฟังก์ชัน ที่ต่อเนื่องและมีอนุพันธ์ ซึ่งตัดแกน X แล้วจะมีจุดอย่างน้อยหนึ่งจุด ที่ทำให้เส้นสัมผัสเส้นโค้งขนานกับแกน X นั่นเอง
